100 великих научных открытий

Гаусс оставил после себя сразу четыре доказательства основной теоремы алгебры. Первому доказательству он посвятил выпущенную в 1799 году докторскую диссертацию под названием «Новое доказательство теоремы о том, что всякая целая рациональная алгебраическая функция одного непременного может быть разложена на действительные множители первой и второй степени».

Гаусс не преминул обратить внимания на пробелы у Эйлера, а главное, подверг критике саму постановку вопроса, когда заранее предполагалось существование корней уравнений.

Первое доказательство Гаусса, как и Д'Аламбера, было аналитическим. Во втором доказательстве, выполненном им в 1815 году, знаменитый математик опять вернулся к критике доказательства основной теоремы алгебры при помощи рассуждения, когда заранее предполагается существование корней уравнения.

Гаусс так пояснил во вводном параграфе необходимость нового доказательства: «Хотя доказательство о разложении целой рациональной функции на множители, которое я дал в мемуаре, опубликованном 16 лет тому назад, не оставляет желать лучшего в отношении строгости и простоты, надо надеяться, что математики не будут считать нежелательным, что я вновь возвращаюсь к этому чрезвычайно важному вопросу и предпринимаю построение второго не менее строгого доказательства, исходя из совершенно иных принципов. А именно, это первое доказательство зависело частично от геометрических рассмотрений, тогда как то, которое я здесь начинаю объяснять, покоится на чисто аналитических принципах». Надо заметить, то, что Гаусс называет аналитическим методом, сегодня именуется алгебраическим.

Для доказательства Гаусс использовал построения поля разложения многочлена. Прошло более шестьдесяти лет, когда и Л Кронекер усовершенствовал и развил метод Гаусса для построения поля разложения любого многочлена. Впоследствии Гаусс дал еще два доказательства основной теоремы алгебры. Четвертое и последнее относится к 1848 году.

Главный итог доказательств основной теоремы алгебры Эйлером, Лагранжем и Гауссом, считает И.Г. Башмакова, было то, что «алгебраические доказательства основной теоремы алгебры ценны именно тем, что для их проведения были развиты новые глубокие методы самой алгебры и были испробованы силы уже созданных методов и приемов».

ТЕОРИЯ ГРУПП

Группами перестановок корней занимались ранее других Лагранж и Гаусс. Но бесспорна заслуга того, кто сформулировал существенные свойства понятий, применил их к решению новых и трудных задач. Это сделал французский математик Галуа для понятия группы. Только после его работ оно стало предметом изучения математиков.

Эварист Галуа (1811–1832) родился в городе Бур-ля-Рен. В 1823 году родители отправили Эвариста учиться в Королевский коллеж в Париже. Здесь он увлекся математикой и стал самостоятельно изучать сочинения Лежандра, Эйлера, Лагранжа, Гаусса.

Идеи Лагранжа целиком овладевают Галуа. Ему, как когда-то Абелю, кажется, что он нашел решение уравнения пятой степени. Он предпринимает безуспешную попытку поступить в Политехническую школу, но знаний работ Лежандра и Лагранжа оказалось недостаточно, и Галуа возвращается в коллеж.

Здесь ему впервые улыбается счастье — он встречает учителя, который смог оценить его гениальность. Ришар умел подниматься выше официальных программ, он был в курсе успехов наук и стремился расширить кругозор своих учеников. Отзывы Ришара о Эваристе просты: «Он работает лишь в высших областях математики».

И действительно, уже в семнадцать лет Галуа получает первые научные результаты. В 1829 году была опубликована его заметка «Доказательство одной теоремы о периодических непрерывных дробях». Тогда же Галуа представил в Парижскую академию наук другую работу. Она затерялась у Коши.

Галуа пытается вторично поступить в Политехническую школу, и вновь неудача. К этому вскоре добавилось событие, потрясшее юношу: затравленный политическими противниками, его отец покончил с собой. Обрушившиеся на Эвариста несчастья неизбежно повлияли на него: он стал нервным и вспыльчивым.

В 1829 году Галуа поступил в Нормальную школу. В ней готовились кандидаты на звание преподавателя. Здесь Эварист выполнил исследование по теории алгебраических уравнений и в 1830 году представил работу на конкурс Парижской академии наук Его судьба была в руках бессменного секретаря Академии — Фурье. Фурье начинает читать рукопись, но вскоре умирает. Вторая рукопись, как и первая, исчезает.